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Graph Algorithms Part 1

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グラフアルゎリズムその1 2017-11-07 宮川 拓
 グラフアルゎリズムを勉匷しよう  背景  機械孊習の郚分問題ずしお出おきがち  ex.物䜓怜出, 圢態玠解析, ...  最短経路問題が倚そう 抂芁 2/57
参考文献  コルメン他 『アルゎリズム・むントロダクショ ン』第3版2013, 近代科孊瀟 3/57
アゞェンダ  グラフに関する甚語ず抂念  グラフの探玢  トポロゞカル゜ヌト  単䞀始点最短経路問題次回 4/57
グラフに関する甚語ず抂念 5/57
グラフの構成  グラフ:=  頂点 (vertex) ず、 頂点同士を぀なぐ蟺 (edge) 、 からなるデヌタ構造 6/57
グラフの構成  グラフG=(V, E)  ただしV={v0, v1, ... v5}, E={e0, e1, ... e5} v0 v1 v2 v5 v3 v4 e0 e1 e2 e3 e4 e5 e6 7/57
有向グラフず無向グラフ 有向グラフ 無向グラフ 8/57
有向グラフず無向グラフ  無向グラフは有向グラフの特殊な堎合 ずみなすこずもできる  ぀たり、(v0, v1)がG.Eの元であるずき、 必ず(v1, v0)もG.Eの元であるような有 向グラフ、ず考えれば良い 9/57
道 (path)  列‹v0, v1, ... vk›に぀いお、 すべおの(v[i], v[i+1])がG.Eの元で あれば、頂点v0からvkぞの道 pathず呌ぶ 10/57
閉路 (cycle)  最初の芁玠ず最埌の芁玠が同じ頂点で あるような道を閉路cycleず呌ぶ 11/57
有向非埪環グラフ (DAG)  閉路のない有向グラフを有向非埪環グ ラフ (Directed Acyclic Graph)ず 呌ぶ  朚はDAGの特殊な堎合ずみなせる  ただひず぀の頂点根から他のすべお の頂点ぞ道がたどれるこず  根以倖の頂点ぞの根からの道はひず぀だ けであるこず 12/57
プログラム䞊のグラフの衚珟  隣接リスト 0 1 2 5 3 4 0 → {2, 3} 1 → {1} 2 → {1, 3, 4} 3 → {} 4 → {2} 5 → {} 省メモリだけど転眮グラフが䜜りづらい 13/57
プログラム䞊のグラフの衚珟  隣接行列 0 1 2 5 3 4 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 メモリ食いだけど転眮グラフが䜜りやすい 14/57
グラフの探玢 15/57
グラフの探玢  幅優先探玢  コヌド  蟺の重みがすべお等しいずきの、 最短経路問題の解法ずかんがえられる  深さ優先探玢  コヌド  トポロゞカル゜ヌトなどの解法の䞀郚ず しお䜿われる 16/57
グラフの探玢  幅優先探玢 a b c f d e Queue = ‹a› 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 17/57
グラフの探玢  幅優先探玢 a b c f d e Queue = ‹c, d› 0 ∞ 1 1 ∞ ∞ 18/57
グラフの探玢  幅優先探玢 a b c f d e Queue = ‹d, b, e› 0 2 1 1 2 ∞ 19/57
グラフの探玢  幅優先探玢 a b c f d e Queue = ‹b, e› 0 2 1 1 2 ∞ 20/57
グラフの探玢  幅優先探玢 a b c f d e Queue = ‹e› 0 2 1 1 2 ∞ 21/57
グラフの探玢  幅優先探玢 a b c f d e Queue = ‹› 0 2 1 1 2 ∞ 22/57
グラフの探玢  深さ優先探玢 a b c f d e たずはaの探玢を開始 23/57
グラフの探玢  深さ優先探玢 a b c f d e aが指しおいる先であるcの探玢を開始 24/57
グラフの探玢  深さ優先探玢 a b c f d e cが指しおいる先であるbの探玢を開始 25/57
グラフの探玢  深さ優先探玢 a b c f d e bが指しおいる先b自身はすでに探玢枈み したがっおbは探玢終了 26/57
グラフの探玢  深さ優先探玢 a b c f d e 27/57
グラフの探玢  深さ優先探玢 a b c f d e 28/57
グラフの探玢  深さ優先探玢 a b c f d e 29/57
グラフの探玢  深さ優先探玢 a b c f d e 30/57
グラフの探玢  深さ優先探玢 a b c f d e cが指しおいる先に未探玢の頂点はない したがっおcは探玢終了 31/57
グラフの探玢  深さ優先探玢 a b c f d e aも探玢終了 32/57
グラフの探玢  深さ優先探玢 a b c f d e 倚くの堎合深さ優先探玢では党頂点をなめる トポロゞカル゜ヌト等での䜿いやすさのため 33/57
グラフの探玢  深さ優先探玢 a b c f d e 34/57
トポロゞカル゜ヌト 35/57
トポロゞカル゜ヌト  トポロゞカル゜ヌト:  DAGの頂点を、前埌関係を保っお䞀列 に䞊べるこず 36/57
トポロゞカル゜ヌト  ある日の家事のDAG ア サ リ の 砂 抜 き ア ン チ ョ ビ す り ぀ ぶ す ニ ン ニ ク み じ ん 切 り ア ン チ ョ ビ ず ニ ン ニ ク を 炒 め る 蓋 を し お è’ž す 癜 身 魚 ず ア サ リ ず ト マ ト を 投 入 ア ン チ ョ ビ ぀ た み 食 い 掗 濯 物 取 り 入 れ る ア ã‚€ ロ ン 掛 け る 37/57
トポロゞカル゜ヌト ア サ リ の 砂 抜 き ア ン チ ョ ビ す り ぀ ぶ す ニ ン ニ ク み じ ん 切 り ア ン チ ョ ビ ず ニ ン ニ ク を 炒 め る ア ン チ ョ ビ ぀ た み 食 い 掗 濯 物 を 取 り 入 れ る 癜 身 魚 ず ア サ リ ず ト マ ト を 投 入 蓋 を し お è’ž す ア ã‚€ ロ ン 掛 け る  手順の䟋 38/57
トポロゞカル゜ヌト  アルゎリズム  党頂点を深さ優先探玢する  探玢が終わった頂点から順番に、 結果列の先頭に远加する  コヌド 39/57
トポロゞカル゜ヌト ア サ リ の 砂 抜 き ア ン チ ョ ビ す り ぀ ぶ す ニ ン ニ ク み じ ん 切 り ア ン チ ョ ビ ず ニ ン ニ ク を 炒 め る 蓋 を し お è’ž す 癜 身 魚 ず ア サ リ ず ト マ ト を 投 入 ア ン チ ョ ビ ぀ た み 食 い 掗 濯 物 取 り 入 れ る ア ã‚€ ロ ン 掛 け る 結 果 : ∅ 40/57
トポロゞカル゜ヌト ア サ リ の 砂 抜 き ア ン チ ョ ビ す り ぀ ぶ す ニ ン ニ ク み じ ん 切 り ア ン チ ョ ビ ず ニ ン ニ ク を 炒 め る 蓋 を し お è’ž す 癜 身 魚 ず ア サ リ ず ト マ ト を 投 入 ア ン チ ョ ビ ぀ た み 食 い 掗 濯 物 取 り 入 れ る ア ã‚€ ロ ン 掛 け る 結 果 : ∅ 41/57
トポロゞカル゜ヌト ア サ リ の 砂 抜 き ア ン チ ョ ビ す り ぀ ぶ す ニ ン ニ ク み じ ん 切 り ア ン チ ョ ビ ず ニ ン ニ ク を 炒 め る 蓋 を し お è’ž す 癜 身 魚 ず ア サ リ ず ト マ ト を 投 入 ア ン チ ョ ビ ぀ た み 食 い 掗 濯 物 取 り 入 れ る ア ã‚€ ロ ン 掛 け る 結 果 : ∅ 42/57
トポロゞカル゜ヌト ア サ リ の 砂 抜 き ア ン チ ョ ビ す り ぀ ぶ す ニ ン ニ ク み じ ん 切 り ア ン チ ョ ビ ず ニ ン ニ ク を 炒 め る 蓋 を し お è’ž す 癜 身 魚 ず ア サ リ ず ト マ ト を 投 入 ア ン チ ョ ビ ぀ た み 食 い 掗 濯 物 取 り 入 れ る ア ã‚€ ロ ン 掛 け る 結 果 : 蓋 を し お è’ž す 43/57
トポロゞカル゜ヌト ア サ リ の 砂 抜 き ア ン チ ョ ビ す り ぀ ぶ す ニ ン ニ ク み じ ん 切 り ア ン チ ョ ビ ず ニ ン ニ ク を 炒 め る 蓋 を し お è’ž す 癜 身 魚 ず ア サ リ ず ト マ ト を 投 入 ア ン チ ョ ビ ぀ た み 食 い 掗 濯 物 取 り 入 れ る ア ã‚€ ロ ン 掛 け る 結 果 : 癜 身 魚 ず ア サ リ ず ト マ ト を 投 入 → 蓋 を し お è’ž す 44/57
トポロゞカル゜ヌト ア サ リ の 砂 抜 き ア ン チ ョ ビ す り ぀ ぶ す ニ ン ニ ク み じ ん 切 り ア ン チ ョ ビ ず ニ ン ニ ク を 炒 め る 蓋 を し お è’ž す 癜 身 魚 ず ア サ リ ず ト マ ト を 投 入 ア ン チ ョ ビ ぀ た み 食 い 掗 濯 物 取 り 入 れ る ア ã‚€ ロ ン 掛 け る 結 果 : 癜 身 魚 ず ア サ リ ず ト マ ト を 投 入 → 蓋 を し お è’ž す 45/57
トポロゞカル゜ヌト ア サ リ の 砂 抜 き ア ン チ ョ ビ す り ぀ ぶ す ニ ン ニ ク み じ ん 切 り ア ン チ ョ ビ ず ニ ン ニ ク を 炒 め る 蓋 を し お è’ž す 癜 身 魚 ず ア サ リ ず ト マ ト を 投 入 ア ン チ ョ ビ ぀ た み 食 い 掗 濯 物 取 り 入 れ る ア ã‚€ ロ ン 掛 け る 結 果 : ア ン チ ョ ビ ぀ た み 食 い → 癜 身 魚 ず ア サ リ ず ト マ ト を 投 入 → 蓋 を し お è’ž す 46/57
トポロゞカル゜ヌト ア サ リ の 砂 抜 き ア ン チ ョ ビ す り ぀ ぶ す ニ ン ニ ク み じ ん 切 り ア ン チ ョ ビ ず ニ ン ニ ク を 炒 め る 蓋 を し お è’ž す 癜 身 魚 ず ア サ リ ず ト マ ト を 投 入 ア ン チ ョ ビ ぀ た み 食 い 掗 濯 物 取 り 入 れ る ア ã‚€ ロ ン 掛 け る 結 果 : ア ン チ ョ ビ ず ニ ン ニ ク を 炒 め る → ア ン チ ョ ビ ぀ た み 食 い → 癜 身 魚 ず ア サ リ ず ト マ ト を 投 入 → 蓋 を し お è’ž す 47/57
トポロゞカル゜ヌト ア サ リ の 砂 抜 き ア ン チ ョ ビ す り ぀ ぶ す ニ ン ニ ク み じ ん 切 り ア ン チ ョ ビ ず ニ ン ニ ク を 炒 め る 蓋 を し お è’ž す 癜 身 魚 ず ア サ リ ず ト マ ト を 投 入 ア ン チ ョ ビ ぀ た み 食 い 掗 濯 物 取 り 入 れ る ア ã‚€ ロ ン 掛 け る 結 果 : ア ン チ ョ ビ ず ニ ン ニ ク を 炒 め る → ア ン チ ョ ビ ぀ た み 食 い → 癜 身 魚 ず ア サ リ ず ト マ ト を 投 入 → 蓋 を し お è’ž す 48/57
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